Esta expresión se usa como metáfora. Un palo es un trozo de maderasacado de los árboles. Una astilla es un pequeño trozo de madera que se desprende del palo cuando es cortado. Esas astillas tienen las mismas características que el palo ya que son simplemente pedazos pequeños que se desprenden del mismo palo. En la expresión, el palo sería el padre o la madre y la astilla sería el hijo o hija.