Esta expresión también se puede encontrar tambiéncomo "decir (algo) con la boca chica". El adjetivo "chico/a" significa "pequeño/a" en este caso.
Esta expresión no tiene un origen determinado pero es bastante gráfica. Si una persona no quiere decir algo porque realmente no lo sienteo no lo piensa, lo dirá sin pronunciar bien, sin abrir bien la bocapara que no se le entienda bien ya que realmente no tiene la intención de hacer lo que dices.